参考：
1、 微积分的本质 - 系列合集
2、 线性代数的本质 - 系列合集
3、 知乎：微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ?
一 微积分
1 导数的本质
- 古典微积分、极限微积分：
微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。
- 古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。
- 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。
- 古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。
- 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。
- 古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。
- 古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。
极限微积分小结：
极限 -> 导数（切线是算出来的） -> 微分（一个线性函数）-> 定积分是求黎曼和微积分思想的诞生：
- 小矩形面积 dA=f(x)·dx
- 这里的 dA、dx 不是一个具体的值，而是一个函数。
- 变形为 dA/dx=f(x)，即是导数的概念；对面积函数求导 dA/dx，得到导函数 f(x)。
- 是某一个具体值代入，比值 dA/dx 就是 A 的导数。
- 可以理解为对面积函数求导得到一条曲线（微分）；对一条曲线积分得到面积函数（积分）。
- 导数的本质：
- 某点附近变化率的最佳近似（不是具体的某一点，而是某点的邻域）。
- 对函数 F(x) 求导，得到一个关于 x 的导函数 f(x)；f(x) 的值是某具体的 x 值代入后该点的导数。
- 展开、化简后可以把含有 dx 的项消掉（图中是消掉 dt），于是变成了熟悉的求导公式计算后的结果。
- 补充：两个标准。
- 实数集。/ 没有无穷概念，用极限，一组数的序列（0.999… = 1）。/ 我们现在学的内容都是在实数集下的概念。实数间没有间隙。在 0.999… 和 1 间找不到任何一个数，所以这两个数相等。
- 非标准实数集（超数）。/ 有无穷概念。
2 求导
（1）基本初等函数求导
用几何来求导。
- 幂函数求导：
- 二次方：
- 三次方：
- n 次方：
- 小结：
反比例函数求导：
三角函数求导：
- 指数函数求导：
（2）复合函数求导
链式法则。
（3）隐函数求导
（4）求导小结
用来处理简单函数组合出的函数导数：
- 加法法则（见导数运算法则）
- 乘积法则（见导数运算法则）
- 链式法则（见复合函数求导）
3 导数运算法则
加法法则：
乘积法则：
