微积分、线性代数(3Blue1Brown)拓展笔记

作者 Marlous 日期 2019-02-11
微积分、线性代数(3Blue1Brown)拓展笔记

参考:
1、 微积分的本质 - 系列合集
2、 线性代数的本质 - 系列合集
3、 知乎:微分和导数的关系是什么?两者的几何意义有什么不同?为什么要定义微分 ?

一 微积分

1 导数的本质

  1. 古典微积分、极限微积分:
    微积分实际上被发明了两次,古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。
  • 古典微积分是先定义微分再定义导数,极限微积分是先定义导数再定义微分。
  • 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的,极限微积分的导数是基于极限定义的。
  • 古典微积分的微分是无穷小量,极限微积分的微分是一个线性函数。
  • 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和,极限微积分的定积分是求黎曼和。
  • 古典微积分的切线是可以画出来的,极限微积分的切线是算出来的。
  • 古典微积分的建立过程很直观,极限微积分的建立过程更抽象。
  1. 极限微积分小结:
    极限 -> 导数(切线是算出来的) -> 微分(一个线性函数)-> 定积分是求黎曼和

  2. 微积分思想的诞生:

  • 小矩形面积 dA=f(x)·dx
  • 这里的 dA、dx 不是一个具体的值,而是一个函数。
  • 变形为 dA/dx=f(x),即是导数的概念;对面积函数求导 dA/dx,得到导函数 f(x)。
  • 是某一个具体值代入,比值 dA/dx 就是 A 的导数。
  • 可以理解为对面积函数求导得到一条曲线(微分);对一条曲线积分得到面积函数(积分)。

微积分的最初思想诞生 1
微积分的最初思想诞生 2

  1. 导数的本质:
  • 某点附近变化率的最佳近似(不是具体的某一点,而是某点的邻域)。
  • 对函数 F(x) 求导,得到一个关于 x 的导函数 f(x);f(x) 的值是某具体的 x 值代入后该点的导数。
  • 展开、化简后可以把含有 dx 的项消掉(图中是消掉 dt),于是变成了熟悉的求导公式计算后的结果。
    导数的本质 1
    导数的本质 2
    导数的本质 3
  1. 补充:两个标准。
  • 实数集。/ 没有无穷概念,用极限,一组数的序列(0.999… = 1)。/ 我们现在学的内容都是在实数集下的概念。实数间没有间隙。在 0.999… 和 1 间找不到任何一个数,所以这两个数相等。
  • 非标准实数集(超数)。/ 有无穷概念。

2 求导

(1)基本初等函数求导

用几何来求导。

  1. 幂函数求导:
  • 二次方:
    二次方 1
    二次方 2
  • 三次方:
    三次方 1
    三次方 2
  • n 次方:
    n 次方 1
    n 次方 2
    n 次方 3
  • 小结:
    小结
  1. 反比例函数求导:
    反比例函数求导

  2. 三角函数求导:

  1. 指数函数求导:

(2)复合函数求导

链式法则。

(3)隐函数求导

(4)求导小结

用来处理简单函数组合出的函数导数:

  • 加法法则(见导数运算法则)
  • 乘积法则(见导数运算法则)
  • 链式法则(见复合函数求导)

3 导数运算法则

  1. 加法法则:

  2. 乘积法则:

4 极限

5 微分、积分基本定理

6 面积与斜率的关系

二 线性代数